Em matemática, a função piso, denotada por ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, converte um número real ${\displaystyle x}$ no maior número inteiro menor ou igual a ${\displaystyle x}$, enquanto a função teto, denotada por ${\displaystyle \lceil x\rceil }$, converte um número real ${\displaystyle x}$ no menor número inteiro maior ou igual a ${\displaystyle x}$. As definições formais para essas função são

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\}}$,

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}}$.

O conceito de parte inteira ou valor inteiro de um número é definido de duas maneiras por diferentes autores. Para Graham et al., a parte inteira de ${\displaystyle x}$ é o mesmo que ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$. Para Spanier e Oldham, a parte inteira de ${\displaystyle x}$ é igual a ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ para ${\displaystyle x}$ positivo e igual a ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ para ${\displaystyle x}$ negativo. A segunda definição será representada neste artigo como ${\displaystyle \mathrm {int} (x)}$.

O mesmo acontece para parte fracionária ou valor fracionário. Para Graham et al., a parte fracionária de ${\displaystyle x}$ é igual a ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$. Para Spanier e Oldham, a parte fracionária de ${\displaystyle x}$ é igual a ${\displaystyle x-\mathrm {int} (x)}$. A segunda definição será representada neste artigo como ${\displaystyle \mathrm {frac} (x)}$.

Tanto os nomes floor e ceiling (piso e teto em inglês) como as notações ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ e ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962.

A parte inteira de um número fracionário ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$) é dada por:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}-{\frac {arctan(tan(\pi (x-{\frac {1}{2}})))}{\pi }}}$